Die Wahl eines Stichprobenumfangs, der genügend groß dafür ist, um eine bestimmte Genauigkeit eines Anteils in dieser Stichprobe zu erreichen, erfolgt nach Berechnung mithilfe dieser Formel:
n >= (k/d)^2 * p*(1-p).
Dabei ist n der zu berechnende genügend große Stichprobenumfang und d die gewünschte maximale Abweichung des Anteils (Genauigkeit), in diesem Fall also 0,01.
Das k steht für die k-sigma-Umgebung, ist für diese Aufgabe also gleich 2. Ist in der Aufgabenstellung keine solche Umgebung angegeben, sondern stattdessen eine Wahrscheinlichkeit, mit der die geforderte Genauigkeit erzielt werden soll (die sogenannte Sicherheitswahrscheinlichkeit groß-P), ist der entsprechende Wert für k einem Tabellenwerk zu entnehmen. In der für das Abitur zugelassenen Formelsammlung „Das große Tafelwerk“ findest Du eine solche Tabelle auf Seite 43. Sollte also beispielsweise die gewünschte Genauigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% erreicht werden, wäre der Wert für k ungefähr 1,64. Alternativ kann k auch mithilfe des Taschenrechners bestimmt werden: invNorm(P + (1-P)/2). Für eine 90%ige Wahrscheinlichkeit ergäbe sich also auch hiernach der erwähnte Wert für k: invNorm(0.9 + (1-0.9)/2) = ~1.64. Nun wird auch ersichtlich, wieso in der von den Autoren des Stark-Verlags vorgeschlagenen Lösung eine Wahrscheinlichkeit von 95,5% auftaucht: invNorm(0.955 + (1-0.955)/2) = ~2. In der Regel findest Du den richtigen Wert für k aber in einer passenden Tabelle entweder in Deiner Formelsammlung oder in den Materialien der Abituraufgabe. (Letzteres war zum Beispiel 2009 der Fall, siehe Seite 2009-18 im Stark-Buch).
Nachdem wir also den geeigneten Wert für k gefunden haben, kümmern wir uns nun um den Term p*(1-p). Wenn der Anteil in der Gesamtheit abgeschätzt werden kann, ist dieser hier für klein-p einzusetzen. In dieser Aufgabe ist davon jedoch keine Rede. In diesem Fall wird vom ungünstigsten Fall ausgegangen, der für p*(1-p) = 1/4 = 0,25 eintritt. (Das soll heißen, beträgt der Anteil in der Gesamtheit 25%, ist der größte Stichprobenumfang für die Erreichung der gewünschten Genauigkeit erforderlich.) Ein Beispiel für einen Fall, in der dieser Anteil abgeschätzt werden kann, ist die Aufgabe 1.2 auf der Seite 486 im Mathematikschulbuch „Elemente der Mathematik“. (Bei ebendieser Aufgabe ist mit p = 0,2 zu rechnen, da 20% einen ungünstigeren Fall darstellt als etwa 10%, da näher an 25%.)
Für einen nichtabschätzbaren Anteil in der Grundgesamtheit sieht die oben aufgeführte Formel also folgendermaßen aus:
n >= (k/d)^2 * 0,25.
Jetzt noch schnell die Werte eingesetzt:
n >= (2/0,01)^2 * 0,25
und mit dem Taschenrechner gelöst, und man erhält:
n >= 10.000.
Das sagt übrigens auch die Rechenmaschine Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sol...F.01%29%5E2+.25
Werden also mindestens 10.000 Leute befragt, kann der Anteil mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von etwa 95,5% auf 1% genau bestimmt werden.
Dieser Lösungsweg weicht von dem im Stark-Buch aufgeführten ab, führt jedoch zum gleichen Ergebnis.
Das Ganze ist im Übrigen auch im schon einmal erwähnten Mathematikbuch auf den Seiten 447 und 448 erklärt.
Ich freue mich, wenn ich Euch beiden und auch anderen helfen konnte.
Viele Grüße und Glück fürs Abitur!
n >= (k/d)^2 * p*(1-p).
Dabei ist n der zu berechnende genügend große Stichprobenumfang und d die gewünschte maximale Abweichung des Anteils (Genauigkeit), in diesem Fall also 0,01.
Das k steht für die k-sigma-Umgebung, ist für diese Aufgabe also gleich 2. Ist in der Aufgabenstellung keine solche Umgebung angegeben, sondern stattdessen eine Wahrscheinlichkeit, mit der die geforderte Genauigkeit erzielt werden soll (die sogenannte Sicherheitswahrscheinlichkeit groß-P), ist der entsprechende Wert für k einem Tabellenwerk zu entnehmen. In der für das Abitur zugelassenen Formelsammlung „Das große Tafelwerk“ findest Du eine solche Tabelle auf Seite 43. Sollte also beispielsweise die gewünschte Genauigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% erreicht werden, wäre der Wert für k ungefähr 1,64. Alternativ kann k auch mithilfe des Taschenrechners bestimmt werden: invNorm(P + (1-P)/2). Für eine 90%ige Wahrscheinlichkeit ergäbe sich also auch hiernach der erwähnte Wert für k: invNorm(0.9 + (1-0.9)/2) = ~1.64. Nun wird auch ersichtlich, wieso in der von den Autoren des Stark-Verlags vorgeschlagenen Lösung eine Wahrscheinlichkeit von 95,5% auftaucht: invNorm(0.955 + (1-0.955)/2) = ~2. In der Regel findest Du den richtigen Wert für k aber in einer passenden Tabelle entweder in Deiner Formelsammlung oder in den Materialien der Abituraufgabe. (Letzteres war zum Beispiel 2009 der Fall, siehe Seite 2009-18 im Stark-Buch).
Nachdem wir also den geeigneten Wert für k gefunden haben, kümmern wir uns nun um den Term p*(1-p). Wenn der Anteil in der Gesamtheit abgeschätzt werden kann, ist dieser hier für klein-p einzusetzen. In dieser Aufgabe ist davon jedoch keine Rede. In diesem Fall wird vom ungünstigsten Fall ausgegangen, der für p*(1-p) = 1/4 = 0,25 eintritt. (Das soll heißen, beträgt der Anteil in der Gesamtheit 25%, ist der größte Stichprobenumfang für die Erreichung der gewünschten Genauigkeit erforderlich.) Ein Beispiel für einen Fall, in der dieser Anteil abgeschätzt werden kann, ist die Aufgabe 1.2 auf der Seite 486 im Mathematikschulbuch „Elemente der Mathematik“. (Bei ebendieser Aufgabe ist mit p = 0,2 zu rechnen, da 20% einen ungünstigeren Fall darstellt als etwa 10%, da näher an 25%.)
Für einen nichtabschätzbaren Anteil in der Grundgesamtheit sieht die oben aufgeführte Formel also folgendermaßen aus:
n >= (k/d)^2 * 0,25.
Jetzt noch schnell die Werte eingesetzt:
n >= (2/0,01)^2 * 0,25
und mit dem Taschenrechner gelöst, und man erhält:
n >= 10.000.
Das sagt übrigens auch die Rechenmaschine Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sol...F.01%29%5E2+.25
Werden also mindestens 10.000 Leute befragt, kann der Anteil mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von etwa 95,5% auf 1% genau bestimmt werden.
Dieser Lösungsweg weicht von dem im Stark-Buch aufgeführten ab, führt jedoch zum gleichen Ergebnis.
Das Ganze ist im Übrigen auch im schon einmal erwähnten Mathematikbuch auf den Seiten 447 und 448 erklärt.
Ich freue mich, wenn ich Euch beiden und auch anderen helfen konnte.
Viele Grüße und Glück fürs Abitur!
Zitat:
Original von nashorn8520
Nachdem wir also den geeigneten Wert für k gefunden haben, kümmern wir uns nun um den Term p*(1-p). Wenn der Anteil in der Gesamtheit abgeschätzt werden kann, ist dieser hier für klein-p einzusetzen. In dieser Aufgabe ist davon jedoch keine Rede. In diesem Fall wird vom ungünstigsten Fall ausgegangen, der für p*(1-p) = 1/4 = 0,25 eintritt. (Das soll heißen, beträgt der Anteil in der Gesamtheit 25%, ist der größte Stichprobenumfang für die Erreichung der gewünschten Genauigkeit erforderlich.)
Nachdem wir also den geeigneten Wert für k gefunden haben, kümmern wir uns nun um den Term p*(1-p). Wenn der Anteil in der Gesamtheit abgeschätzt werden kann, ist dieser hier für klein-p einzusetzen. In dieser Aufgabe ist davon jedoch keine Rede. In diesem Fall wird vom ungünstigsten Fall ausgegangen, der für p*(1-p) = 1/4 = 0,25 eintritt. (Das soll heißen, beträgt der Anteil in der Gesamtheit 25%, ist der größte Stichprobenumfang für die Erreichung der gewünschten Genauigkeit erforderlich.)
Gute Antwort, aber müsste es nicht heißen: "wenn der Anteil in der Gesamtheit 50 % ist "? denn 0.5*(1-0.5)=0.25 :S
Zitat:
Original von FelixK
Gute Antwort, aber müsste es nicht heißen: "wenn der Anteil in der Gesamtheit 50 % ist "? denn 0.5*(1-0.5)=0.25 :S
Zitat:
Original von nashorn8520
Nachdem wir also den geeigneten Wert für k gefunden haben, kümmern wir uns nun um den Term p*(1-p). Wenn der Anteil in der Gesamtheit abgeschätzt werden kann, ist dieser hier für klein-p einzusetzen. In dieser Aufgabe ist davon jedoch keine Rede. In diesem Fall wird vom ungünstigsten Fall ausgegangen, der für p*(1-p) = 1/4 = 0,25 eintritt. (Das soll heißen, beträgt der Anteil in der Gesamtheit 25%, ist der größte Stichprobenumfang für die Erreichung der gewünschten Genauigkeit erforderlich.)
Nachdem wir also den geeigneten Wert für k gefunden haben, kümmern wir uns nun um den Term p*(1-p). Wenn der Anteil in der Gesamtheit abgeschätzt werden kann, ist dieser hier für klein-p einzusetzen. In dieser Aufgabe ist davon jedoch keine Rede. In diesem Fall wird vom ungünstigsten Fall ausgegangen, der für p*(1-p) = 1/4 = 0,25 eintritt. (Das soll heißen, beträgt der Anteil in der Gesamtheit 25%, ist der größte Stichprobenumfang für die Erreichung der gewünschten Genauigkeit erforderlich.)
Gute Antwort, aber müsste es nicht heißen: "wenn der Anteil in der Gesamtheit 50 % ist "? denn 0.5*(1-0.5)=0.25 :S
Richtig. Das war mir gar nicht aufgefallen.
Zitat:
Original von Shadder
Die allgemeine Formel lautet n>= 1,96 sigma/n
Da solltest du im Rahmen der Intervallbestimmung schonmal was von gehört haben, "ichwill15punkte" hat die nur vereinfacht :-D
Die allgemeine Formel lautet n>= 1,96 sigma/n
Da solltest du im Rahmen der Intervallbestimmung schonmal was von gehört haben, "ichwill15punkte" hat die nur vereinfacht :-D
jetzt erkenne ich es !
