Niedersachsen – Mathematik:
Stochastik AufgabeMathematik
Meine Freundinnen und ich haben eine Aufgabe aus dem Lambacher - Schweizer (S.40, Nr. 
gerechnet. (Kennen vlt einige von euch.)
Bei einem Glücksrad trete jeder der 5 Sektoren mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 auf. Die 5 Sektoren tragen die Zahlen 1; 2; 3; 4; 5.
a) Das Glücksrad wird 500-mal gedreht. Die Zufallsvariable X beschreibe die relative Häufigkeit für “5”. Berechnen Sie näherungsweise den zu µx symmetrischen Bereich, in dem die relative Häufigkeit für “5” mit 99%iger Wahrscheinlichkeit fällt.
b) Wie oft muss das Glücksrad gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichtkeit von mindestens 95% die relative Häufigkeit für “5” um höchstens 0,05 von 0,2 abweicht?
Zu a) haben wir uns folgendes gedacht:
X sei die Anzahl der "5"en und binomial verteilt mit n = 500 und p = 0,2.
Die relative Häufigkeit, die "5" zu drehen, sprich die Wahrscheinlichkeit,, müsste doch 0,2 betragen, oder?
Oder muss man binompdf(500;0,2;1) als relative Häufigkeit nehmen? Das wäre aber eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit...
Dann soll man ja eine Sigma(stdV)/n - Umgebung um den Erwartungswert µx bestimmen.
95% --> 1,64*sigma
Wir haben uns die Lösung nun so überlegt:
µ = n*p => µ = 100,
sigma = Wurzel aus (n*p*(1-p)) => sigma = 28,28
100 - 1,64* (28,28/500) d µx d 100 + 1,64* (28,28/500)
=> [99,91; 100,09]
Ist das die gesuchte Lösung?
gerechnet. (Kennen vlt einige von euch.)Bei einem Glücksrad trete jeder der 5 Sektoren mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 auf. Die 5 Sektoren tragen die Zahlen 1; 2; 3; 4; 5.
a) Das Glücksrad wird 500-mal gedreht. Die Zufallsvariable X beschreibe die relative Häufigkeit für “5”. Berechnen Sie näherungsweise den zu µx symmetrischen Bereich, in dem die relative Häufigkeit für “5” mit 99%iger Wahrscheinlichkeit fällt.
b) Wie oft muss das Glücksrad gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichtkeit von mindestens 95% die relative Häufigkeit für “5” um höchstens 0,05 von 0,2 abweicht?
Zu a) haben wir uns folgendes gedacht:
X sei die Anzahl der "5"en und binomial verteilt mit n = 500 und p = 0,2.
Die relative Häufigkeit, die "5" zu drehen, sprich die Wahrscheinlichkeit,, müsste doch 0,2 betragen, oder?
Oder muss man binompdf(500;0,2;1) als relative Häufigkeit nehmen? Das wäre aber eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit...
Dann soll man ja eine Sigma(stdV)/n - Umgebung um den Erwartungswert µx bestimmen.
95% --> 1,64*sigma
Wir haben uns die Lösung nun so überlegt:
µ = n*p => µ = 100,
sigma = Wurzel aus (n*p*(1-p)) => sigma = 28,28
100 - 1,64* (28,28/500) d µx d 100 + 1,64* (28,28/500)
=> [99,91; 100,09]
Ist das die gesuchte Lösung?
Zuletzt bearbeitet von sunshine89 am 30.03.2009 um 15:27 Uhr
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Barbie '09 - Wir haben's auch ohne Ken geschafft!
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Die Lösungen stehen hinten drin ;-)
Eure Lösung macht Sinn, in den Lösungen stehen aber andere, da die aber schon mehrfach falsche Lösungen in dem Heft hatten würd ich deine Lösung nciht verwerfen, ich rechne die Aufgabe morgen früh selber mal durch und poste dann was da rauskommt.
Die Lösungen aus dem Heft sind folgende:
Aufgabenteil a)
Sigma: Wurzel 80
Erwartungswert:100
c größer gleich: 0,035 bzw. 3,5%
Aufgabenteil b)
n größer gleich 246
Die Ergebnisse verwirren aber denk ich eher als dass sie helfen
Gruß
Eure Lösung macht Sinn, in den Lösungen stehen aber andere, da die aber schon mehrfach falsche Lösungen in dem Heft hatten würd ich deine Lösung nciht verwerfen, ich rechne die Aufgabe morgen früh selber mal durch und poste dann was da rauskommt.
Die Lösungen aus dem Heft sind folgende:
Aufgabenteil a)
Sigma: Wurzel 80
Erwartungswert:100
c größer gleich: 0,035 bzw. 3,5%
Aufgabenteil b)
n größer gleich 246
Die Ergebnisse verwirren aber denk ich eher als dass sie helfen
Gruß
okay, wurde alles schon gesagt 
edit, oder auch nicht.
zunächst zu a)
euer erster gedankengang war soweit richtig. zunächst muss der erwartungswert berechnet werden, was ihr richtig gemacht habt (das mit binompdf macht da überhaupt keinen sinn, das wäre in diesem fall die wahrscheinlichkeit bei 500x drehen genau einmal ein 5 zu bekommen, was natürlich sehr gering ist)
was ihr danach gerechnet habt, ist teilweise sehr konfus, da ihr bisweilen komplett andere ergebnisse habt, als das buch und ich und der bereich deutlich zu klein sein muss (bei eurer Wahrscheinlichkeitsverteilung käme man ja fast immer genau auf den Erwartungswert bei 500 versuchen)
am ende müsstet ihr etwa [77 ; 123] als absoluten Intervall haben. Teilt ihr diese Werte durch die Anzahl von n, kommt ihr auf 15,4% und 24,6% was eine Abweichung von 4,6% sind.
Die Lösung im Buch hinten stimmt nicht oder die Aufgabe ist falsch. Die Lösung iist korrekt für eine relative Abweichung von 5% und nicht 1% (so wird in der Lösung auch gerechnet).
zu b)
Hier schaut man am Anfang am besten wieder auf den Konfidenzintervall, der ja allgemein lautet [µ-sigma*z;µ+sigma*z]
Da es sich um relative häufigkeiten handelt, ist µ=0,2; z=1,96 und sigma abhängig von n)
Jetzt kann man sich überlegen:
µ+sigma*z/n<0,25
mit ein paar kleinen Umformungen und einsetzen, erhält man dann folgendes:
=> sigma/n<0,05/1,96
(n*0,2*0,8 )/n<0,05/1,96
Die beiden Terme lassen sich gut in den GTR eingeben, der linke Term nähert sich asymptotisch der x achse und der rechte ist eine gerade parallel zur x-achse. jetzt einfac mit dem Schnittpunkt menü (intersect) die stelle bestimmen und du hast den n-wert.
da erhalte ich etwas weniger als 246 (man muss allerdings aufrunden), was mit der Lösung im Heft übereinstimmt.
edit, oder auch nicht.
zunächst zu a)
euer erster gedankengang war soweit richtig. zunächst muss der erwartungswert berechnet werden, was ihr richtig gemacht habt (das mit binompdf macht da überhaupt keinen sinn, das wäre in diesem fall die wahrscheinlichkeit bei 500x drehen genau einmal ein 5 zu bekommen, was natürlich sehr gering ist
)was ihr danach gerechnet habt, ist teilweise sehr konfus, da ihr bisweilen komplett andere ergebnisse habt, als das buch und ich und der bereich deutlich zu klein sein muss (bei eurer Wahrscheinlichkeitsverteilung käme man ja fast immer genau auf den Erwartungswert bei 500 versuchen
)am ende müsstet ihr etwa [77 ; 123] als absoluten Intervall haben. Teilt ihr diese Werte durch die Anzahl von n, kommt ihr auf 15,4% und 24,6% was eine Abweichung von 4,6% sind.
Die Lösung im Buch hinten stimmt nicht oder die Aufgabe ist falsch. Die Lösung iist korrekt für eine relative Abweichung von 5% und nicht 1% (so wird in der Lösung auch gerechnet).
zu b)
Hier schaut man am Anfang am besten wieder auf den Konfidenzintervall, der ja allgemein lautet [µ-sigma*z;µ+sigma*z]
Da es sich um relative häufigkeiten handelt, ist µ=0,2; z=1,96 und sigma abhängig von n)
Jetzt kann man sich überlegen:
µ+sigma*z/n<0,25
mit ein paar kleinen Umformungen und einsetzen, erhält man dann folgendes:
=> sigma/n<0,05/1,96
(n*0,2*0,8 )/n<0,05/1,96
Die beiden Terme lassen sich gut in den GTR eingeben, der linke Term nähert sich asymptotisch der x achse und der rechte ist eine gerade parallel zur x-achse. jetzt einfac mit dem Schnittpunkt menü (intersect) die stelle bestimmen und du hast den n-wert.
da erhalte ich etwas weniger als 246 (man muss allerdings aufrunden), was mit der Lösung im Heft übereinstimmt.
Zuletzt bearbeitet von system89 am 30.03.2009 um 17:01 Uhr
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