Die e-Funktion dadurch zu charakterisieren, dass (e^x)'=e^x ist, ist vollkommen korrekt. Die Ableitung anderer Potenzfunktionen ist eine Folgerung daraus, nicht umgekehrt.
Denn es ist ja a^x=e^(a*ln(x)) und dann folgt aus der definierenden Eigenschaft der e-Funktion deine angegebene Gleichung.
Ich hab gesehen, dass du das nicht selber erstellt hast, aber ich möchte auf folgendes hinweisen: Dass die Ableitung von e^x ebenfalls e^x ist, ist keine Besonderheit, denn die Ableitung entspricht der Kettenregel bzw. dem Standard der Exponentialfunktionen, denn die Ableitung von a^x ist a^x*ln(a), aber ln(e) ist 1, als heißt die Ableitung von e^x genaugenommen 1*e^x und sieht so gleich aus
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Denn es ist ja a^x=e^(a*ln(x)) und dann folgt aus der definierenden Eigenschaft der e-Funktion deine angegebene Gleichung.
Dass die Ableitung von e^x ebenfalls e^x ist, ist keine Besonderheit, denn die Ableitung entspricht der Kettenregel bzw. dem Standard der Exponentialfunktionen, denn die Ableitung von a^x ist a^x*ln(a), aber ln(e) ist 1, als heißt die Ableitung von e^x genaugenommen 1*e^x und sieht so gleich aus
Es ist teilweise etwas unübersichtlich, aber nochmal eine gute zusammenfassung des themas :)